Открытых проблем в теории чисел можно напридумывать множество. Возможно, одной проблемой станет скоро меньше.

Итан Чжан доказал теорему, что Всегда будут встречаться простые числа, удалённые друг от друга не более чем на 70 миллионов.
Эти пары будут встречаться всё реже и реже, но не исчезнут никогда, несмотря на действие теоремы о среднем расстоянии между простыми числами в 2,3 × N, где N — количество разрядов.
И можно довольно несложно указать диапазон в 70млн, в котором нет ни одного простого числа: (70млн+1)! + 2, (70млн+1)! + 3, (70млн+1)! + 4,..., (70млн+1)! + (70млн+1).
Когда журнал “Annals of Mathematics” получил 17 апреля 2013 года научную работу Чжана, они восприняли её скептически. Но по качеству доказательства нет никаких вопросов: «Он проработал каждую деталь, так что никто не поставит его работу под сомнение».
«Осталось» уменьшить 70 миллионов до 2 и исходная задача про Простые числа-близнецы будет решена.
На данный момент, наибольшими известными простыми-близнецами являются числа
Предлагаю следующую гипотезу. Если мы имеем простое утверждение о свойствах чисел и оно удовлетворяется в ста случаях, то утверждение будет всегда верным и далее.
Так, конечно, не пойдет, но направление мысли уже ясно.
Необходимо ввести понятие сложности утверждения, типа Колмогоровской и научиться его вычислять.
Например, утверждение о парах-близнецах считать сложным на уровне 2. Такое утверждение будем считать простым. Тогда, если наша гипотеза верна, нам нужно проверить, всего-навсего, 10^2=100 таких пар, что они существуют. Это факт. Тогда, по нашей гипотезе, таких пар будет бесконечно много.
Почему такая гипотеза может быть верна? Ряд натуральных чисел возрастает монотонно. И мы вправе от него ожидать, что если закономерность проявилась на достаточно большом отрезке, начиная с 1, то она будет проявляться и дальше. Хотя, может быть, и все реже, что тоже логично.
Казалось бы, что факт существования фракталов разрушают нашу гипотезу. Формула производства точек для фрактала "Множество Мандельброта" проста, а сам фрактал — бесконечно сложный.

Визуализация в цвете и со звуком на 10 минут
Но случай итераций надо исключить или считать за длину формулы все число использованных итераций, что сразу делает неприменимой нашу гипотезу к этому случаю.
Почему же фрактал получается такой сложный? Его сложность кроется в нерегулярности появления простых чисел. Каждое последующее простое число вычисляется, исходя из наличия всех меньших простых чисел.
А теорема Ферма, как все уже знают, решена. К ней так же можно применить нашу гипотезу.
Импорт с livejournal не позволяет показать ролик. Оригинальный пост тут.
A Journey in The Mandelbrot set [1280x720] (видео)